Habe die Lösung gefunden, zumindest bei mir mit Firefox:
Vor dem Login in Firefox about:config aufrufen.
Dann den Flag von privacy.resistFingerprinting auf “false” setzen.
Dann einloggen und anschließend das Flag wieder auf “true” zurücksetzen.
Ich nehme an, dass alleine diese Einstellung das Problem bei eBay Kleinanzeigen verursacht.
Bzw. dass andere Browser es da mit dem Datenschutz einfach nicht so genau nehmen.
privacy.resistFingerprinting auf “true” verursacht auch an anderer Stelle Probleme.
Wenn man zum Beispiel auf manchen Seiten Bilder hochladen will, werden diese korrumpiert und zeigen nur merkwürdige Muster an (die Pixelabmessungen stimmen allerdings mit der Ursprungsdatei überein).